Matematikkens ontologi belyst ved en historisk case

Af: PhD studerende Jessica Carter, IMADA, Syddansk Universitet, Odense,

Email: jessica@imada.sdu.dk

Spørgsmålet om matematikkens ontologi er spørgsmålet om hvorvidt de matematiske objekter eksisterer eller ej, d.v.s., om de er skabt eller opdaget. I min Ph.D afhandling prøver jeg på at besvare dette spørgsmål, dels ved at studere den filosofiske debat om matematikkens ontologi og dels ved at lave en historisk case indenfor den moderne matematik.

Blandt filosoffer er der en livlig debat angående spørgsmålet om eksistensen af matematiske objekter. Der er både realister, som mener at matematikkens objekter eksisterer uafhængigt af mennesker og anti-realister, som mener at matematikkens objekter ikke eksisterer.

Blandt realister kan jeg nævne P. Maddy (i 1990) og J. Katz. Af forskellige grunde vælger Maddy at koncentrere sig om mængdeteori. I sin bog ‘Realism in Mathematics’ fra 1990 beskriver hun en position som hun benævner Mængdeteoretisk Realisme. Ifølge Maddy eksisterer (små) mængder som fysiske objekter og derfor kan vi få viden om dem på samme måde som vi får viden om de almindelige fysiske objekter, nemlig via sanse-erfaring. Modsat Maddy, mener J. Katz (Katz, 1998) at de matematiske objekter eksisterer som abstrakte objekter, d.v.s., ikke i tid eller rum, og som sådanne eksisterer de nødvendigt. Ifølge Katz opnår vi derfor viden om de matematiske objekter udelukkende ved brug af vores fornuft og ikke ved hjælp af vores sanser.

Det største problem med Maddys position er at hun ikke gør rede for hvordan vi opnår viden om de abstrakte matematiske objekter som matematikerne arbejder med, og Katz har problemer med at forklare hvor forudsætningerne i matematikken stammer fra, når han udelukker at vi kan benytte os af sanseerfaring når vi opnår viden om matematikken. Derfor vil jeg her antyde, at en løsning måske kan findes i en kombination af disse muligheder, dvs. at kilden til matematiske objekter er både erfaring og fornuft.

Jeg mener at en filosofi om matematikken skal stemme overens med praksis indenfor matematik. Jeg har derfor udtaget en del af den moderne matematik, nemlig K-teori, for at studere hvorfor og hvordan nye objekter introduceres i matematikken. K-teori blev først udviklet som en teori indenfor topologi af sir Michael Atiyah (i samarbejde med F. Hirzebruch) i slutningen af 1950'erne. Atiyah var inspireret af Alexander Grothendieck, som definerede den første K-gruppe i forbindelse med en generalisering af Riemann-Roch sætningen. Som navnet antyder går denne sætning tilbage til Riemann, som efter at have defineret begrebet Riemann-flader i 1850'erne stillede spørgsmålet om eksistens af meromorfe (komplekse) funktioner på sådanne flader. Riemanns bidrag til Riemann-Roch sætningen var at fastslå eksistensen af sådanne funktioner under bestemte betingelser, mens hans elev G. Roch i 1865 kunne bestemme dimensionen af vektorrummet af sådanne funktioner på en given Riemann-flade. Da en Riemann-flade er en kompleks en-dimensionel flade, stillede matematikere derefter spørgsmålet om det var muligt at generalisere Riemann-Roch sætningen til n-dimensionale flader. Dette lykkedes ikke førend i 1956, hvor F. Hirzebruch publicerede sin version af sætningen i bogen ‘Neue topologische Methoden in der algebraischen Geometrie’. Beviset for denne generalisering krævede at der introduceredes mange nye objekter, f.eks. knipper, som blev defineret af J. Leray i 1946.

Grothendiecks version af Riemann-Roch sætningen er en generalisering af Hirzebruchs version (se Borel og Serre, 1958). Hirzebruchs version er formuleret indenfor topologi, og udtrykker Euler-Poincaré karakteristikken:

som et polynomium i Chern-klasserne for V og W. Her er V en algebraisk mangfoldighed og W et komplekst analytisk vektorbundt over V, og Hⁱ(V, W) er cohomologi-grupper med koefficienter i et knippe.

Nogle af de forhold der inspirerede Grothendiecks generalisering var:

· Grothendieck brugte algebraiske metoder, d.v.s. objekter er defineret over et vilkårligt legeme, hvor Hirzebruch brugte analytiske metoder.

· Grothendieck ville gerne bruge de kategori-teori begreber der dukkede op i 1940-1950’erne.

· Han var inspireret af og del af, den franske gruppe af matematikere, der arbejdede under pseudonymet Bourbaki.

Da Grothendieck arbejder indenfor algebraisk geometri, består hans objekter af algebraiske varieteter og over disse er der defineret knipper.

P.g.a. inspirationen fra kategori-teori er Grothendiecks udgangspunkt at betragte den situation hvor der er defineret en (proper) afbildning mellem to algebraiske varieteter,

f : X ® Y og hvor der er defineret et (koherent) knippe, F, over X.

For at formulere sætningen, skal Grothendieck definere en afbildning f_!, som givet et knippe over X producerer et knippe over Y. Udtrykket for denne afbildning skal kunne reduceres til Euler-Poincaré karakteristikken i Hirzebruchs version og afbildningen skal være en homomorfi.

Når Y reduceres til et punkt vil de så kaldte højere direkte billeder af F under f reduceres til cohomologi-grupperne i Hirzebruchs formel. Problemet er bare at kunne udtrykke den alternerende sum af disse. For at gøre dette muligt, samt at sikre at funktionen er en homomorfi definerer Grothendieck K-gruppen K(X):

hvor E(X) er den frie abelske gruppe genereret af koherente knipper over X, og

Q(X) er undergruppen genereret af elementer på formen F-F '-F '', når

er en kort eksakt følge af koherente knipper defineret over X.

Endeligt defineres afbildningen f_! fra K(X) til K(Y), hvor et knippe, F, over X sendes over i den alternerende sum af de højere direkte billeder,

så den får de ønskede egenskaber. (Grothendiecks version af Riemann-Roch sætningen er publiceret i (Borel og Serre, 1958) .)

En konklusion, som jeg drager ud fra dette case studium, er at introduktionen af K-gruppen bliver nødvendig for at løse det problem som Grothendieck har formuleret på baggrund af den matematiske praksis. Man kan sige at K-gruppens eksistens er berettiget fordi den er konstrueret ud fra allerede eksisterende objekter og fordi den er nødvendig i formuleringen af Grothendiecks Riemann-Roch sætning.

Det ser således ud til at de matematiske objekter “vokser” ud af den matematiske praksis: matematikere formulerer problemer og for at kunne løse dem bliver de nødt til at introducere nye objekter. For at kunne svare på det oprindelige spørgsmål om hvorvidt de matematiske objekter opdages eller skabes, kan man så spørge hvor de matematiske problemer kommer fra. Casen viser at Grothendieck formulerer sin generalisering på baggrund af udvikling indenfor matematikken, d.v.s. at problemet i dette tilfælde kommer af indre matematiske forhold. I andre tilfælde inspireres matematiske problemer af f.eks. spørgsmål indenfor naturvidenskaben, d.v.s. på baggrund af ydre forhold. Det vil altså sige, at betragter man den matematiske praksis, ser det ud til at det er matematikerne der introducerer matematikkens objekter, og svaret på mit spørgsmål er at de er skabte. Objekterne introduceres ikke vilkårligt, men har deres oprindelse både fra vores omgivelser og fra indre-matematiske forhold.

Referencer:

Borel, A. og Serre J.-P. 1958, Le Théorème de Riemann-Roch, Bull. Soc. Math. France 86, 97-136.

Hirzebruch, F. 1956, Neue topologische Methoden in der algebraischen Geometrie, Berlin: Springer.

Katz, J. 1998, Realistic Rationalism, MIT Press.

Maddy, P. 1990, Realism in Mathematics, Oxford: Oxford University Press.